容斥原理的推广-胡宗胜的个人博客👤

两个集合的容斥原理

三个集合的容斥原理

n个集合的容斥原理

要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

最终得到公式：

${\begin{aligned}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|={}&\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leq i<j\leq n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\cdots +(-1)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}$

又可写成

$\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\left(\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}|A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}|\right)$